|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Hoeveel getallen van 5 verschillende cijfers?
Hoe bereken ik de gradient van de volgende functie:
f(x,y,z) = |r|-n waarbij r = x i + y j + z k
(i, j en k zijn vectorrichtingen). Ik begrijp niet hoe een vector af te leiden is. Met vriendelijke groet,
Erik Hazelhof
Antwoord
Men schrijft veelal (x,y,z) ipv xi + yj +zk.
Dus |r| = √(x2+y2+z2), volgens Pythagoras, en
f(x,y,z) = (x2+y2+z2)(-n/2).
De partiële afgeleide van f naar x is (-n/2)(x2+y2+z2)(-n/2)-1·(2x) = (-nx)(x2+y2+z2)(-n-2)/2),
en analoog berekent men de partiële afgeleiden van f naar y en naar z.
De gradiënt is dan ((-nx)(x2+y2+z2)(-n-2)/2, (-ny)(x2+y2+z2)(-n-2)/2, (-nz)(x2+y2+z2)(-n-2)/2).
Dit kan men ook opschrijven als volgt:
(-n)|r|-n-2 (x,y,z) = (-n)|r|-n-2 r = (-n)|r|-n-2 (xi + yj+ zk).
De gradiënt wijst dus in de richting van de oorsprong, namelijk in tegenovergestelde richting als r.
In die richting neemt f het snelst toe. Dat klopt, want: hoe groter |r|, hoe kleiner f.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
